Качественное выполнение

Задача 2

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Х1 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 7
Х// 10m+7 10m+8 10m+9 10m+10 10m+11,5 10m+11 10m+12 10m+13,5 10m+15 10m+17
у 10n+28 10n+31 10n+33 10n+35 10n+38 10n+41 10n+42 10n+45 10n+48 10n+52

Требуется
1. Построить уравнение регрессии.
2. Оценить качество полученной регрессии при помощи скорректированного коэффициента детерминации.
3. Построить доверительные интервалы для параметров регрессии, функции регрессии и индивидуального значения зависимой переменной при х1 = 3 и х2 = 8.


Решение:

Исходные данные для решения задачи:
I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Х1 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 7
Х// 47 48 49 50 51,5 51 52 53,5 55 57
у 48 51 53 55 58 61 62 65 68 72

1) Для построения уравнения множественной регрессии используется выражение:

где -- среднее значение результативного признака y при определенном значении факторного признака x;
a0 – свободный член уравнения;
a1 , a2– коэффициенты регрессии.

Построить уравнение регрессии можно с помощью приложения MS Office MS Excel. Для этого в меню «сервис» нужно выбрать «анализ денных» -- «регрессия» и задать значения факторных и результативной переменной. Результаты расчетов представлены в таблице 3.
Таблица 3.
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение
Y-пересечение 37,84234 15,36573 2,462776 0,043289
Переменная X 1 4,774775 0,694998 6,870195 0,000238
Переменная X 2 0,018018 0,356283 0,050572 0,961079
Таким образом, уравнение множественной регрессии будет иметь следующий вид:


Значение коэффициента регрессии a1 говорит о том, что среднее изменение результата с изменением фактора на единицу при неизменном значении фактора , закрепленном на среднем уровне, составит 4,77 единиц. Аналогично для второго коэффициента регрессии.



2) Значения скорректированного и нескорреткированного линейных коэффициентов множественной детерминации приведены в таблице 4. Они также были получены в результате регрессионного анализа в приложении MS Excel.

Таблица 4.
Регрессионная статистика
Множественный R 0,998356
R-квадрат 0,996715
Нормированный R-квадрат 0,995776
Стандартная ошибка 0,501606
Наблюдения 10
Скорректированный коэффициент множественной детерминации определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов в модели и потому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Так как коэффициент близок к единице, это говорит о высокой степени детерминированности результату y в модели факторами х1 и х2., что говорит о высоком качестве построенной модели.

Формула для расчета скорректированного коэффициента множественной детерминации следующая:

где m – количество объясняющих переменных в модели;
n – число наблюдений.

Данные для расчета представим в таблице 5.

Таблица 5.
x1 x2 y





1 2 47 48 48,239 -0,239 0,057 -11,3 127,69
2 2,5 48 51 50,644 0,356 0,127 -8,3 68,89
3 3 49 53 53,050 -0,050 0,002 -6,3 39,69
4 3,5 50 55 55,455 -0,455 0,207 -4,3 18,49
5 4 51,5 58 57,869 0,131 0,017 -1,3 1,69
6 4,5 51 61 60,248 0,752 0,566 1,7 2,89
7 5 52 62 62,653 -0,653 0,427 2,7 7,29
8 5,5 53,5 65 65,068 -0,068 0,005 5,7 32,49
9 6 55 68 67,482 0,518 0,268 8,7 75,69
10 7 57 72 72,293 -0,293 0,086 12,7 161,29
Итого 43 514 593 -- -- 1,761 -- 536,1
Среднее значение 4,3 51,4 59,3 -- -- -- -- --


Как видим, рассчитанный таким образом, а также скорректированный коэффициент множественной детерминации из таблицы 4 полностью совпадают.
Полученное значение данного коэффициента свидетельствует о том, что рассматриваемая форма связи отражает реальные соотношения между переменными, включенными в модель.